浮動小数点数とは何ですか？

（英語圏の国では通例であるように、おそらくポイント）これらは仮数部と指数として保存されている実際の（または実際の）数字の提示は、浮動小数点数です。 これにもかかわらず、数が固定された相対精度と絶対的変化が設けられています。 ハードウェアとソフトウェアの両方 - 最も頻繁に使用される表現は、コンピューティング・システムに実装されている浮動小数点数を使用し、標準のIEEE 754算術演算を承認しました。

ポイントまたはコンマ

「浮動小数点」 - 小数点の区切りの詳細なリストは、全体のポイントの端数部分で区切られた数字のレコードは、これらの国の用語は、浮動小数点の名前を採用しているため、これらの英語圏の国とanglofitsirovannyeを識別します。 ロシア連邦、伝統の全体の小数部分では、カンマで区切られたので、同じ概念が歴史的に用語「浮動小数点」を認識している表します。 しかし、今日の技術文書にし、ロシア文学では、両方のオプションを許可されています。

行番号のうちどこにでも合うことができる - 用語「浮動小数点」は、位置番号表現はカンマ（コンピュータ通常10進数またはバイナリ）であるという事実に由来します。 この機能は、別途明記してくださいです。 これは、浮動小数点数の表現は、指数表記のコンピュータ実装としてみなすことができることを意味します。 その相対精度が変わらない場合、値の範囲表現形式固定小数点および整数のような表現を用いることの利点は、著しく成長します。

例

固定された数のコンマ場合、それは1つのフォーマットのみです燃やします。 例えば、小数部の数の6つのビットと2桁を与え。 これは、このような方法で行うことができます123456.78。 発現のための完全な範囲を与える浮動小数点数のフォーマット。 例えば、同じ8桁の数字を与えられました。 プログラマは、合計数が10 8 + 2になりながら、典型的には10、及び0〜16であり指数、及び放電を記録する2桁けちるデューティ追加のフィールドを行わない場合のオプションを記録することは任意であってもよいです。

あなたは浮動小数点で数値をフォーマットすることができます記録、いくつかの実施形態：12345678000000000000。 0.0000012345678; 123.45678; 1.2345678のように。 この形式では、スピードの測定であっても単位があります！ むしろ、コンピュータは、浮動小数点数の表現がある操作を実行する速度を記録したコンピュータシステムの性能。 この性能は、（浮動小数点で秒あたりのトランザクションの数に変換毎秒浮動小数点演算）フロップの点で測定されます。 これは、測定・コンピュータ・システム速度の基本単位です。

構造

このレコードは、仮数と順序と実数を示す、指数関数的であるため、必須の部分の配列を観察し、以下のように、浮動小数点形式のレコード番号が必要です。 彼らが読みはるかに簡単です、大きすぎると小さすぎる数字を表現することが必要です。 必要な部品：記録数（N）、仮数（M）、記号（P）及び次数（n）の順序。 記号の最後の二つの特徴。 したがって、N = ^M. n個^のp。 そう書かれた浮動小数点数。 例としては、変化するであろう。

1.ゼロで迷子にならないように、百万の数を記録する必要があります。 1000000 - それは通常記録、演算です。 次のようにコンピュータがある^：1.0。 10月⁶日^。 などの多くの6つのゼロに合う3つの徴候、 - すなわち、6乗に10です。 従って直ちに綴りの違いを検出することができ、固定および浮動小数点数の表現が発生します。

2.そして、このようなハード数は14.35億（10億四百三十から五千）も簡単に書くことができます^：1435。 9月¹⁰日^、のみ。 だから、任意の数を書くことができますマイナス記号です。 それはそれだ、固定および浮動小数点の数と互いに異なります。

しかし、それは低い方のより多くのですか？ はい、あまりにも簡単に。

第百万マークとして例えば3、？ = 0.000001 ^{1.0。 10-6。} 非常に容易に書き込み番号、およびそれを読んで。

4.より複雑？ 五百と第四十六億：0.000000546 = ^546。 10 ^-9。 ここで。 浮動小数点の範囲は非常に広いです。

形状

伝票番号は、正常または正規化されてもよいです。 ノーマル - 常に浮動小数点数の精度を尊重します。 <1。ないその正確さを失うの数の正常な形で⩽0そして、この形式の仮数は、アカウントにログインを取ることなく、間隔0 1の半分であることに留意すべきです。 正規形の欠点は、それが曖昧であり、多くの数字は異なる方法で書き込むことができるということです。 同じ数の実施例の異なるレコード：0 = ^{0.0001、000001。} 2月¹⁰日= ^0.00001。 1月¹⁰日= ^0.0001。 10 ⁰ = ^0.001。 10 ^-1 = ^0.01。 10 ^-2、などがはるかにすることができます。 コンピュータは、仮数の小数が単位の値と異なる正規表記、（包括的）を使用し、したがって、10個の（含まれていない）、そして同様に、仮数2進数（両端を含む）1の間の値を持つ理由は、（2つにありません包括的）。

だから、1⩽<10これ- 進数 浮動小数点と、及び（ゼロを除く）任意の数を記録する。この形態は、ユニークな方法を捕捉します。 ゼロのこの種のを想像することができない - しかし、また、欠点があります。 したがって、情報は、特別な番号0の符号（ビット）の使用を提供します。 正規化された形式でゼロ以外のバイナリ数の仮数の（MSB）の整数部分は1（暗黙単位）に等しいです。 このレコードは、標準IEEE 754ベースつ以上の（三元、四元および他のシステム）である位置番号方式が使用される場合、このプロパティは、購入されていません。

実数

実浮動小数点と数字と、それは、値と精度の範囲の間で妥協したとして、それは、一つだけが、実数を表現するために非常に便利な方法ではありません同じように通常あります。 これは、指数表記法に類似している、唯一のコンピュータ上で実行します。 浮動小数点数-各ビットのセットは、 符号 （サイン）、 オーダー （指数）と仮数 （カマキリ）に分割されています。 度と1ビット数の符号を示している - 最も一般的な形式は、その仮数、他の部分の一部をコードするビットのセットとしてIEEE 754浮動小数点数である：ゼロを - それが正である場合、単位 - 数値が負である場合。 正規化された形式で、その小数部 - - 二成分系における全体の手順は、数（コードシフト）、及び仮数によって記録されます。

各記号は、 - すべての浮動小数点数の符号を示す単一のビットです。 仮数と順序は - 彼らは看板と一緒に、整数であり、浮動小数点数の表現を作ります。 手順は、指数関数や指数呼び出すことができます。 全ての実数は、その正確な意味でのコンピュータで表現することができない、他の人が近似値を提示しています。 はるかに簡単なオプション - 現実と全体の一部が別々に保持される固定点と実数を提出します。 ほとんどのように、整数部分は常にXビットが割り当てられ、小数 - Yビット。 しかし、プロセッサのアーキテクチャは、このような方法を認識していないが、好ましいのは、浮動小数点の数に与えられるからです。

追加

浮動小数点数の追加は非常に簡単です。 IEEE 754標準単精度数に関連して、多数のビットを有するので、最小の浮動小数点数を取るために、より良いアイデアを、実施例を上に移動することをお勧めします。 例えば、二つの数 - XおよびY

手順は次のとおりです。

A）数値は、正規化された形式で表現されなければなりません。 これは明らかに隠されたものです。 X = ^1.110。 2 ^2、及びY = ^千。 2 ^0。

B）のみ出展を等しくすることができる組成物の処理を続行し、それは事実であるが、これは正規化数の値に対応するYの値を書き換える必要 - unnormalizesを。

次にこのように左への2つの点でコンマ隠れユニットを移動させる、第2項のインデックスに2を追加し、すなわち、これらの変化を補償するために、仮数を動かす= 2 0 - 2度の指数との差を計算します。 0.0100が^{得られます。 2}月²日^。 これは、その後、Y「はすでに存在し、前回値Yと同等になります。

C）今、あなたは調整仮数XとYの数を追加する必要があります

1.110 + 0.01 = 10.0

出品者は、依然として2に等しく、Xパラメータによって表されます。

g）を、前のステップで受信量、正規化部をシフトし、その後、指数和と繰り返しをシフトする必要があります。 小数点の左側の2ビットと10.0、数は今正規化する必要がある、すなわち、それは^1,000判明、それぞれ1点、および指数によって残さ1だけ増加にカンマを移動します^。 3月²日^。

E）は、シングルバイト・システムにおける浮動小数点数に変換する時間です。

結論

あなたが見ることができるように、これらの番号を追加、あまりにもハードカンマを浮くものではありません。 もちろん、しない限りは、下部よりうち指数（上記の例では、それがXをYであった）、ならびに現状の回復の数をもたらす以外は、補償の問題、すなわち - 仮数の左側に小数点を移動させます。 その数は、それを表現する番号と一致しない場合perenormirovanieと切り捨てビット - さらに、すでに適用されている場合は、それは非常に可能性が、まだ一つの問題です。

乗算

バイナリシステムは、浮動小数点数を乗算したことにより、2つの方法が用意されています。 このタスクは、最下位ビットから始まり、乗算器における上位ビットで始まる乗算によって行われてもよいです。 どちらの場合には、順次、部分積を積層操作の数を含みます。 これらの操作は乗数ビットを添加することによって制御されます。 乗数のビットのうちの1つが単位であれば、被乗数の部分積の和は、対応するシフトで成長します。 乗数の桁が、ゼロをはった場合は被乗数が追加されていない状態。

乗算はちょうど2つの数値を行っている場合は、その量の数の積は二倍以上の要因に含まれている桁の数を超えることはできません、そして多数のためにそれは非常に、非常に多くのです。 いくつかの数を乗じた場合は、製品が画面に収まらないリスク。 あらゆるデジタル機のビット数は非常に有限であり、それは加算器の桁数の二倍の最大値を制限するように強制しているため。 場所の数が限られている場合や、製品に必然的にエラーを紹介します。 計算量が大きい場合には、オーバーラップの誤差、結果として大幅に全体的な精度を増加させます。 ここでは、唯一の方法 - 乗算結果を丸めるためには、エラーの作品が交互ました。 場合乗算演算固定小数点形式で表される数に課される制限があるので、それは、数字のグリッドを超えて、だけ若いで行くことが可能になります。

いくつかの説明

より良い最初から開始します。 コンマが最後に暗示される整数、として行番号 - 番号を表現する最も一般的な方法。 この文字列の長さは任意ですが、コンマは、その端数部分から整数を分離し、それを置くために適切な場所に立っています。 固定小数点システムのプレゼンテーションのフォーマットは、必ずしも、小数点の位置に特定の条件を置きます。 科学的表記は、数字の表現の標準的な正規化されたビューを使用します。 それAQN {\ displaystyle水溶液^ {N }}水溶液のN。 ここで、{\ displaystyle ^A} A、それは仮数レースと呼ばれています。 ただ、それについては、その0⩽明らかである^{：N {/ displaystyleのN} N} -整数の指数であり^、q {/ displaystyle Q} Q -基数の基礎でも整数、（文字はしばしば10）。 仮数はゼロでない最初の桁、後にコンマを残すが、さらに記録が数の現在値の情報に転送されます。

浮動小数点数は、指数部と仮数部が別々に記録されている、すべての明確な基準エントリ番号に非常に似て書かれています。 最初の桁で装飾された固定小数点、 - 同一の正規化形式での最後。 ないこと後に、ここで整数部分、次いで前に、今では最初の数字の前にある - ちょうど浮動小数点をコンピュータに主に使用され、それは、システムが小数ず、バイナリ、偶数仮数非正規化再配列点はどこの電子表現であります原則的に、することはできません。 たとえば、私たち自身の小数点システムは、一時的な使用のための彼の9つのバイナリシステムを与えるだろう。 そして、それは記録し、このようにその仮数の浮動小数点う：1001000 ... 0、およびそれとインデックス0 ... 0100。 しかし十進法は、浮動小数点の形式を使用して、バイナリであってもよく、そのような複雑な計算を生成することができません。

長い算術

電子計算機に内蔵されているコンピュータのメモリサイズによってのみ制限され、仮数とメモリ指定したソフトウェアの量の指数に割り当てられたソフトウェアパッケージ、。 これは、コンピュータを行い数字上で長い算術、簡単な操作のように見えます。 減算と加算、除算、乗算、初等関数やルートの建設 - それはすべて同じです。 しかし、非常に異なるの数は、彼らの能力は、機械語の長さよりもかなり大きいです。 これらの操作の実装は、ハードウェアとソフトウェアによるものですが、広くオーダーの非常に少ない数で動作するように、基本的なハードウェアを使用しています。 任意精度演算 - 番号の長さが専用メモリ容量によって制限される場合、より多くの演算があります。 長い算術は、多くの分野で使用されています。

1.コード（プロセッサをコンパイルするために、低ビット深さを有するマイクロコントローラ - 10ビットレジスタ及び8ビットのワード長は、長い演算なしで行うことはできません従って、アナログ - ディジタル（アナログ - デジタル変換器）からの情報を処理するのに十分ではない、と。

2.また、長い演算は^、10309に対するべき乗または乗算の結果の精度を確保する必要がある暗号化に使用されています^。 整数演算は、モジュロMに使用される - 大きな自然数を、必ずしも簡単ではありません。

コンピュータの助けを借りて、数字の高精度を保証する - 唯一の方法は、紙の上の計算結果を検証するため、金融や数学者のための3.ソフトウェアは、あまりにも、長い算術がないわけではありません。 浮動小数点彼らは長い間、放電の任意の数を含むことができます。 ミスをせずに入力データを作成することは非常に困難であるので、しかし、技術計算や科学者の仕事は、非常に頻繁に介入プログラムの計算を必要とします。 彼らは通常はるかに膨大な丸め結果よります。

エラーとの戦い

浮動小数点演算の数は、結果の精度を評価することは非常に難しい場合があります。 まだこの問題を解決するのに役立つだろう、すべての数学的理論を満たす発明したわけではありません。 しかし、エラーの整数を簡単に評価します。 可能性は、表面上の誤りを取り除く - ちょうど固定小数点数のみを使用します。 例えば、金融プログラムは、この原理に基づいて構築されました。 しかし、単純にあります。小数点以下の桁の必要数を事前に知られています。

あなたは非常に小さい、または非常に大きな数字のいずれかで動作することはできませんので、他のアプリケーションは、これらに限定されません。 あなたが働くときに常に不正確があるかもしれないことを考慮に入れ、そして結果の導出ので、それはラウンドに必要です。 また、自動丸めは、しばしば作用の欠如であり、したがって、丸めが具体的に定義されています。 この点、比較操作で非常に危険。 でも、将来のエラーの量が非常に困難である推定があります。