ブール代数。 論理の代数 数学的論理の要素

現代の世界では、さまざまなマシンやガジェットを使用しています。 そして、文字通り非人道的な力を適用する必要があるときだけでなく、荷物を移動させて高さまで持ち上げ、長く深い溝を掘るなど、車は今日ロボットを収集し、食品はマルチバルクで準備され、電卓で計算されます。 「ブール代数」という表現がますます増えています。 おそらく、ロボットの作成における人間の役割と、数学的でなく 論理的な課題 を解決する機械の能力を理解する時が来たの です。

ロジック

ギリシャ語から翻訳された論理は、与えられた条件間の関係を作り、仮定や仮定に基づいて結論を出すことができる、順序付けられた思考のシステムです。 かなり頻繁にお互いに尋ねます：「論理的ですか？」答えは私たちの前提に答えるか、あるいは思考の過程を批判します。 しかし、プロセスは止まらない：私たちは引き続き理由をつける。

ときどき条件の数（導入）が非常に大きく、それらの間の相互関係は複雑で複雑なので、人間の脳はすべてを一度に「消化」することができません。 何が起きているのかを理解するのに1ヶ月（1週間、1年）以上かかることがあります。 しかし、現代生活は私たちに意思決定のための時間間隔を与えません。 私たちはコンピュータの助けを借りています。 そして、これは、論理の代数とその法則と性質が現れる場所です。 すべての初期データをダウンロードしたら、コンピュータはすべての関係を認識し、矛盾をなくし、満足のいく解決策を見つけることができます。

数学と論理

最も有名なGottfried Wilhelm Leibnizは、「数学的論理」の概念を策定しました。そのタスクは、狭い科学者グループにしかアクセスできませんでした。 この方向への特別な関心は生じなかったし、XIX世紀の中頃まで、数学的論理についてはほとんど知りませんでした。

科学者コミュニティに大きな関心が寄せられたのは、英国人のジョージ・ビュールが、実際に適用されなかった数学のセクションを作成する意向を発表したという論争であった。 私たちが歴史から覚えているように、工業生産は積極的に発展し、あらゆる種類の補機と機械が開発されました。すなわち、すべての科学的発見は実用的な方向性を持っていました。

先に見て、ブール代数は現代の世界で最も多く使われている数学であると言います。 だから紛争は彼のブールを失った。

ジョージブール

著者の非常に個性が特に注目されるべきです。 過去の人々が私たちよりも成長したという事実を考慮しても、私たちは16歳でG.Booleが村の学校で教えて、20歳でリンカーンで自分の学校を開設したことに気づくことができません。 数学者は5つの外国語を完全に習得し、暇なときにニュートンとラグランジュの仕事を読んだ。 そしてこれはすべて、単純な労働者の息子のことです！

1839年、ブールは最初にケンブリッジ数学ジャーナルに科学論文を送った。 科学者は24歳でした。 Booleは1844年に 数学的分析の 発展への彼の貢献のメダルを受け取ったので、ロイヤル・サイエンティフィック・ソサエティの興味深いメンバーたちが働いてい ます。 数学的論理の要素が記述されたいくつかの他の出版された作品は、若い数学者がコーク郡カレッジの教授のポストを取ることを可能にした。 Booleの教育はそうではなかったことを思い出してください。

アイデア

原則として、ブール代数は非常に簡単です。 数学の観点からは、「真理」または「嘘」という2つの単語でしか定義できない 文（論理 式）があります。 たとえば、春には木々が咲きます。真実、夏には雪が降ります。 この数学のすべての魅力は、厳密に数字だけを使う必要はないということです。 明白な意味を持つ命題は、命題の代数に完全に適している。

したがって、論理代数は、命令のスケジューリングおよび記述、イベントに関する競合する情報の分析、およびアクションのシーケンスの決定において、文字通りどこでも使用できます。 最も重要なことは、声明の真実または偽りをどのように判断するかは問題ではないことを理解することです。 これらの「どのように」から「なぜ」を抽象化すべきか。 意味は事実の声明にすぎません：真偽。

もちろん、ロジックの代数の関数はプログラミングにとって重要であり、適切な符号と記号で書かれています。 そして、それらを学ぶことは、新しい外国語を習得することを意味します。 不可能なことはありません。

基本的な概念と定義

深みに入ることなく、私たちは用語を理解するでしょう。 したがって、ブール代数は次のものを前提としています。

• ステートメント;
• 論理演算;
• 機能と法律。

ステートメントは、二重値と解釈できない肯定的な式です。 それらは数字の形で書かれ（5> 3）、通常の言葉で書かれています（象は最大の哺乳動物です）。 同時に、「キリンには首がない」というフレーズにも存在する権利があり、ブール代数だけがそれを「うそ」と定義します。

すべてのステートメントは明白でなければなりませんが、基本ステートメントとコンポジットステートメントにすることができます。 後者は論理接続を使用します。 すなわち、命題代数では、論理演算を介して基本要素を追加することによって、複合文が形成される。

ブール代数の操作

命題の代数演算は論理的であることをすでに覚えている。 数値の代数は算術演算を使用して数値を加算、減算、または比較するのと同じように、数学的論理の要素は複雑なステートメントを構成したり、負の値を与えたり、最終結果を計算することを可能にします。

形式化と単純化のための論理演算は、算術演算では慣例の式によって書き留められます。 ブール代数のプロパティは、方程式を書いて未知数を計算することを可能にします。 論理演算は、通常、真理値表を使用して記述されます。 その列は計算要素とそれらに対して実行される操作を定義し、線は計算結果を示します。

基本的な論理アクション

ブール代数の最も一般的な演算は、否定（NOT）と論理ANDおよびORです。 だから、あなたは判断の代数のほとんどすべての行動を記述することができます。 3つの操作のそれぞれについて詳細に検討します。

否定（否定）は1つの要素（オペランド）にのみ適用されます。 したがって、否定演算は単項と呼ばれます。 「not A」という概念を書くには、¬A、A¯¯、または！Aのような記号を使用します。 表形式では、次のようになります。

否定関数の場合、次の文が一般的です。Aが真の場合、Aは偽です。 例えば、月は地球の周りを回っています。 地球は月の周りを回っています - うそです。

論理積と加算

論理ANDを結合演算といいます。 これはどういう意味ですか？ まず、2つのオペランドに適用できる、つまりIは2項演算です。 第二に、両方のオペランド（とAとB）の真理の場合にのみ、式自体が真であるということです。 「忍耐と仕事はペレトラットになる」という諺は、困難に対処するには2つの要素だけが役立つことを前提としています。

録音にはA∧B、A⋅B、A && Bの記号を使用します。

共役は、算術演算の乗算に似ています。 時には彼らは論理的な乗法を言う。 テーブル要素に行を掛け合わせると、論理的な考え方に似た結果が得られます。

論理和は論理和演算と呼ばれます。 少なくとも1つのステートメントが真（またはAまたはB）の場合、真理値をとります。 それは次のように書かれています：A∨B、A + BまたはA || B. これらの操作の真理値表は次のとおりです。

分離は算術加算のようなものです。 論理加算の演算には、1 + 1 = 1という制限が1つしかありません。 しかし、デジタル形式では、数学的論理が0と1（1が真、0が偽）に制限されていることを覚えています。 例えば、博物館では傑作を見たり、面白い対話者と会うことができます。ということは、あなたが芸術作品を見ることができ、興味深い人物と知り合うことができるということです。 同時に、両方のイベントの同時完了のオプションを除外するものではありません。

機能と法律

したがって、ブール代数がどのような論理演算を使用するかはすでに分かっています。 関数は、数学的論理の要素のすべての特性を記述し、複雑な複合条件のタスクを単純化することを可能にします。 最も理解しやすく単純なのは、デリバティブ業務を放棄するという性質です。 デリバティブは、排他的OR、含意、等価です。 我々は基本的な操作だけに精通しているので、我々はそれらの特性を考慮する。

結合性は、 "and A、and B、and B"のような文では、オペランドの列挙は重要ではないことを意味します。 この式は次のとおりです。

（A∧B）∧B =A∧（∧∧∧∧）=A∧B∧、

（A∨B）∨B=A∨（BBV）=A∨B∨Bとなる。

我々が見ているように、これは接続詞だけでなく、論理和でもあります。

共通性は、結合または論理和の結果が、どの要素が最初に考慮されたかに依存しないことを主張する。

A∧B=ΛAA; A∨B=B∨A。

分散性により、複雑な論理式でかっこを開くことができます。 このルールは、代数を乗算して加算するときのカッコの開示に似ています。

A∧（∨∨∨）=A∧∨∨∧; A∨B∧B=（A∨B）∧（A∨B）。

ユニットのプロパティと 、オペランドの1つとなるゼロも、0または1による代数乗算、1に加えての代数乗算に似ています。

A ^ 0 = 0、A ^ 1 = A; A∨0= A、A∨1= 1。

偶数性は、操作の結果が2つの等価オペランドに関して似ていると判明した場合、推論の過程を複雑にする余分なオペラを「捨てる」ことができます。 接続と分離の両方は、等価動作である。

БББ=Б; БББ=Б。

吸収はまた、方程式を単純化することを可能にする。 吸収では、同じ要素を持つ演算が1つのオペランドを持つ式に適用されたとき、結果は吸収演算のオペランドになります。

A∧B∨B= B; （A∨B）∧B= B.

操作のシーケンス

操作の順序はあまり重要ではありません。 実際、代数に関しては、ブール代数を使用する関数の優先順位があります。 操作の重要性が確認された場合にのみ、数式を簡略化できます。 最も重要なものからマイナーなものへのランク付けでは、次のシーケンスが得られます。

1.否定。

2.結合する。

ORを除く分離。

4.含意、等価性。

我々が見ているように、拒否と接続詞だけが同等の優先順位を持っていません。 そして、論理和と排他的論理和の優先順位は同等であり、含意と等価性の優先順位と同じです。

含意と等価関数

既に述べたように、基本的な論理演算に加えて、数学的論理とアルゴリズムの理論は派生物を使用します。 最も一般的に使用される意味合いと等価性。

含意、または論理的な遵守は、ある行動が条件であり、もう1つがその達成の結果であるという発言です。 言い換えれば、この文は "if ... then"という口実を持っています。 「乗るのが好きで、愛し、運ぶのが好きです。」 すなわち、スケートのためには、スレッドをスライドに締め付けることが必要である。 山を離れる気がなければ、そりを運ぶ必要はありません。 A→BまたはA⇒Bのように書かれています。

等価とは、結果のアクションが両方のオペランドが真である場合にのみ発生することを意味します。 たとえば、太陽が地平線から上がったとき、夜はその日（そしてその時）に置き換えられます。 数学的論理の言語では、この文はA≡B、A⇔B、A == Bと書かれています。

ブール代数の他の法則

判断代数が発展し、多くの興味深い科学者が新しい法律を策定しました。 最も有名なのは、スコットランドの数学者O. de Morganの仮定である。 彼は、近くの否定、追加、二重否定などの性質に気づき、定義した。

厳密な否定は、ブラケットの前に否定が1つもないことを示唆しています。not（AまたはB）= AまたはBではありません。

オペランドが拒否されると、その値にかかわらず、オペランドは次のように追加されます。

Б¬B= 0; Б¬B= 1。

そして、最後に、 二重否定はそれ自身を補う。 つまり オペランドの前に、否定が消えたり、1つだけ残ったりします。

テストの解決方法

数学的論理は、与えられた方程式の単純化を意味する。 代数の場合と同様に、条件をできるだけ簡単にする（複雑な紹介や操作を取り除く）ことがまず必要であり、次に正しい答えを見つけることが必要です。

簡素化のために何ができるのですか？ 派生したすべての操作を単純な操作に変換します。 次に、すべてのかっこを開きます（またはその逆の場合は、この要素を短くするためにかっこをレンダリングします）。 次のステップは、実際のブール代数のプロパティ（吸収、ゼロと単位のプロパティなど）を適用することです。

最終的には、単純な操作で結合された未知数の最小数で方程式を構成する必要があります。 あなたが多数の緊密な否定を達成するならば、解決策を探すのが最も簡単です。 その後、答えはそれ自身でポップアップします。