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不定積分。 不定積分の計算
数学的分析の基本的なセクションの一つは、積分計算です。 それは不定積分である - それは最初のオブジェクト、非常に広い分野をカバーしています。 まだ高校生であるキーが高い数学を説明見通しと機会の増加を明らかにするよう位置それが立っています。
外観
一見すると、それは現代の、局所に全く不可欠なようだが、実際には、彼が戻って1800年に来たことが判明した BC。 私たちにその存在の証拠以前に到達しなかったとしてホームが正式にエジプトと考えられています。 これは、情報不足のため、すべての中には、単に現象として位置付け。 彼は再び当時の人々の科学的発展のレベルを確認しました。 最後に、作品が発見された、古代ギリシャの数学者を紀元前4世紀に遡ります。 それらは不定積分に使用される方法を記述する、の本質は（それぞれ、三次元及び二次元平面）曲線形状の体積または面積を見出すことでした。 計算は体積（面積）が既にそれらに知られていることを条件とする、微小成分に元の図形の分割の原理に基づいていました。 時間が経つにつれて、成長してきた方法は、アルキメデスは、放物線の面積を見つけるためにそれを使用しました。 彼らはギリシャの仲間の科学から完全に独立していた古代の中国での演習を実施すると同時に、同様の計算、。
開発
11世紀BCの次の突破口は、アラブの学者の仕事となっている「ワゴン」の境界をプッシュアブ・アリ・アル・バスリ、すでに知られている、私たちに知られている。このために適用する、第1〜第4の量及び度の総和を計算するための積分公式に由来するものでした 誘導方式。
今日の心は、古代エジプト人は、自分の手のことを除いて、特殊な工具なしで素晴らしいモニュメントを作成したことで賞賛されていますが、劣らず時間奇跡のパワーマッドサイエンティストではないですか？ 自分たちの生活の現在の時刻と比較すると、ほぼ原始的なように見えるが、不定積分の決定は、どこにでも推測し、さらなる発展のために実際に使用されます。
イタリアの数学者カバリエリをピックアップ不可分方法、持ったときに次のステップは、16世紀に起こった FERMA当たり。 これら二つの人格は、現時点で知られている現代の積分計算のための基礎を築きました。 彼らは以前に自己完結型のユニットとして見られた分化と統合の概念を、結びました。 及び大、その時間の数学は知見は限られた用途で、単独で存在する断片化した粒子でした。 団結と共通点を見つけるための方法は、彼のおかげで、近代的な、現時点では唯一の本当だった 数学的分析が 成長し、発展させる機会がありました。
時間の経過とともにだけでなくすべてのものと積分記号を変更します。 することにより、大規模、それは彼自身の方法で、例えば、ニュートンは、積分機能を入れて、または単に一緒に入れ四角いアイコンを、使用科学者と命名しました。
正式な定義
不定積分は、プリミティブの定義に依存するので、我々は最初の場所でそれを検討してください。
不定積分 - 実際にそれがプリミティブと呼ばれ、デリバティブの逆関数です。 そうでない場合：Dの原始関数は - 誘導体V <=> V「= Vである関数Dです。 検索プリミティブは、不定積分を計算することで、プロセス自体が統合と呼ばれています。
例：
関数s（Y）= Y 3、およびそのプリミティブS（Y）=（Y 4/4）。
関数の全てのプリミティブのセットは、 - 以下のように、これは不定積分であり、それを表記：∫V（X）DX。
V（x）があるという事実のおかげで - 一部のみ原始元の関数であり、式が成り立つ：∫V（X）DX = V（X）+ C、C - 定数。 その導関数がゼロであるので、任意の定数の下で、任意の定数を指します。
プロパティ
不定積分が有する特性は、本質的に定義およびその誘導体の特性に基づきます。
キーポイントを考慮してください。
- プリミティブの積分誘導体は、それ自体プリミティブプラス任意の定数C <=>∫V「（X）DX = V（X）+ Cです。
- 関数の積分の誘導体は、本来の機能<=>（∫V（X）DX）「= V（x）があります。
- 定数kは、積分記号<=>∫kv（X）DX =k∫v（x）dxを、下から取り出し、 - 任意です。
- 積分の和<=>∫（V（Y）+ W（Y））DY =∫V（Y）DY +∫w（Y）DYと同一に等しいの和から採取され、一体。
最後の2つのプロパティが不定積分が線形であると結論付けることができます。 このため、我々は持っている：∫（KV（Y）DY +∫LW（Y））DY =k∫v（Y）DY +l∫w（Y）DYを。
溶液を不定積分を固定する例を参照します。
あなたは、積分∫（3sinx + 4cosx）DXを見つける必要があります。
- ∫（3sinx + 4cosx）DX =∫3sinxdx+∫4cosxdx=3∫sinxdx+4∫cosxdx= 3（-cosx）+ 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.
例から、我々はあなたが不定積分を解決する方法がわからないと結論づけることができますか？ ただ、すべてのプリミティブを見つけて下さい！ しかし、原則のための検索は、以下で説明します。
方法と例
積分を解決するために、次の方法に頼ることができます。
- テーブルを活用する準備ができて。
- 部分積分。
- 変数を置き換えることにより、統合;
- 差動の看板の下で合計。
テーブル
最もシンプルで楽しい方法です。 現時点では、数学的分析は不定積分の基本的な式を綴らかなり大規模なテーブルを、自慢することができます。 言い換えれば、あなたにまで派生したテンプレートがあると、あなたはそれらだけを利用することができます。 ここでは、事実上すべてのインスタンスを表示することができるメインテーブルの位置のリストは、ある解決策があります。
- ∫0dy= C、C - 定数。
- ∫dy= Y + C、C - 定数。
- ∫yn個の DY =（Y N + 1）/（N + 1）+ C、C -定数、及びN -結束異なる数。
- ∫（1 / Y）DY = LN | Y | + C、C - 定数。
- ∫eのY量dy = EのY + C 、 C -定数。
- ∫kのY量dy =（k個のY / LN K）+ C、 C -定数。
- ∫cosydy= siny + C、C - 定数。
- ∫sinydy= -cosy + C、C - 定数。
- ∫dy/ COS 2 Y = TGY + C、C -定数。
- ∫dy/罪2 Y = -ctgy + C、C -定数。
- ∫dy/（1 + Y 2）= arctgy + Cここで、C -定数。
- ∫chydy=シャイ+ C、C - 定数。
- ∫shydy= CHY + C、C - 定数。
必要に応じて、手順のカップルが表形式のビューに積分をリードして勝利をお楽しみください。 例：∫cos（5X -2）DX = 1 /5∫cos（5X - 2）D（5X - 2）= 1/5 X SIN（5X - 2）+ C.
判決によると、例えば、テーブルの積分は、我々が変更されていない一般的な表現に1/5で、この乗算と並行して、それを追加乗数5を欠いていることは明らかです。
部分積分
Z（Y）とX（Y） - 二つの機能を考えます。 彼らは、そのドメイン上の連続微分可能でなければなりません。 D（XZ）= xdz + zdx：私たちが持っている1つの分化のプロパティで。 両側を統合し、我々が得る：∫d（XZ）=∫（xdz + zdx）=> ZX =∫zdx+∫xdz。
- ∫xdz∫zdx= ZX：結果の方程式を書き換え、我々は部分積分の方法を説明する式を取得します。
なぜそれが必要なのか？ 後者は表形式に近い場合、簡単にすることができる例のいくつかは、∫zdx∫xdzを減らすために、のは言わせているという事実。 また、この式は、最適な結果を得るために、複数回使用することができます。
どのように不定積分をこのように解決するために：
- ∫（S + 1）のE 2S DS を算出するために必要
∫（X + 1）のE 2S DS = {Zが=の S + 1、DZ = DS、yは1 / 2E 2S、DY = Eの2倍 = =（（S + DS} 1）のE 2S）/ 2-1 / 2 ∫e2S DX =（（S + 1）のE 2S）/ 2-E 2S / 4 + C。
- ∫lnsdsを計算しなければなりません。
∫lnsds= {Z = LNS、DZ = DS / sで、Y = Sで、DY = DS} = slns - ∫s第X DS /秒の=のslns - ∫dsの=のslns -s + C = Sで（LNS-1）+ C.
変数の置き換え
複雑なものの不定積分を解決するためのこの原理は、前の2よりも需要が少ないではありません。 方法は以下の通りである：V（x）をしてみましょう - いくつかの関数V（X）の積分。 自身に例slozhnosochinennyに不可欠くる場合には、混乱や間違ったパス・ソリューションを下る可能性があります。 Xに応じてZを維持しながら、一般的な表現を視覚的に単純化されたZの変数xからこの方法の変更を回避します。
以下のように数学的に、これは：∫V（X）DX =∫V （Y（Z））Y「（Z）DZ = V（Z）= V（Y -1（x））が、 X = Y（ Z） - 置換。 そして、もちろん、逆関数Z = Y -1（x）の完全な関係と変数の関係を記述する。 重要な注意 - 不定積分中の変数の変化はないだけ積分で、どこでもそれを置き換える含むので、差動DXは、必ずしも、新しい差動DZに置き換えます。
例：
- DS - ∫（S + 1）/（5 S 2 + 2S）を見つける必要があります
（S 2 + 2S-5）/置換Z =（S + 1）を適用します。 次いで、DZ = 2sds = 2 + 2（S + 1）DS <=>（S + 1）DS = DZ / 2。 その結果、非常に簡単で、次の式では、計算します：
∫（S + 1）/（S 2つの + 2S-5）DS =∫（DZ / 2）/ Z = 1 / 2LN | Z | + C = 1 / 2LN | S 2つの + 2S-5 | + C。
- あなたは、積分∫2S E S DXを見つける必要があります
次の形式で書き換えを解決するには：
∫2S E S DS =∫（ 2E）S DS。
私たちは、基本的な表形式に不可欠たちの一見複雑なを与える、（この段階ではない引数の交換が、それはまだSである）= 2Eで表します：
∫（2E）S DSの=の∫aのS DS = S / LNA + C =（2E）S / LN（2E）+ C = 2 SのE S / LN（2 + LNE）+ C = 2 SのE S / （LN2 + 1）+ C.
差動符号を総括
よると、大きな不定積分の、この方法 - 変数の変更の原則の双子の兄弟が、登録のプロセスに違いがあります。 私たちは、より詳細に検討してみましょう。
もし∫V（X）DX = V（X）+ C及びy = Z（x）は、次いで∫V（Y）DY = V（Y）+ C.
同時に、我々はその中に、些細な整数変換を忘れてはいけません。
- DX = D（X + A）、および前記 - 各定数。
- DX =（1 / a）からd（AX + B）、 - ゼロ再び一定ではなく、。
- XDX = 1 / 2D（X 2 + B）。
- sinxdx = -d（cosx）。
- cosxdx = D（のSiNx）。
我々は不定積分を計算する一般的な場合を考える場合、例は、「（x）は、DX = DW（X）W一般式に包含させることができます。
例：
- （2S + 3）2、DS、DS = 1 / 2D（2S + 3）∫見つけなければなりません
∫（2S + 3）= 1 /2∫（2S + 3）2 D 2つの DS（2S + 3）=（1/2）×（（2S + 3）2）/ 3 + C =（1/6） X（2S + 3）2 + C。
∫tgsds=∫sins/ cossds =∫d（COSS）/ COSS = -ln | COSS | + C.
オンラインヘルプ
いくつかのケースでは、の障害になったり、怠惰、もしくは緊急の必要性、あなたは電卓に不定積分を使用するように、むしろオンラインプロンプトを使用するか、またはすることができます。 見かけ上の複雑さと積分の論争の本質にもかかわらず、決定は「それから...あなたがいない場合...」の原理に基づいている彼らの特定のアルゴリズム、対象となります。
もちろん、そのような電卓の特に複雑な例として、決定は人為的な結果に到達するために明白な方法であるため、プロセス内の特定の要素を導入することにより、「強制」を見つけるために持っている場合があるので、マスターしません。 この文の論争の本質にもかかわらず、それは、原則的に、数学として、抽象的、科学真実であり、その主な目的は、国境をエンパワーする必要性を検討します。 確かに、のための円滑な実行に理論上に移動し、進化するので、私たちに与えた不定積分を解決するための例、と仮定していないことは非常に困難である - これは機会の高さです。 しかし、戻って、物事の技術的側面へ。 計算をチェックするには、少なくとも、あなたはそれが私たちに書かれたサービスを利用することができます。 複雑な式を自動計算する必要がある場合、それらはより深刻なソフトウェアに頼る必要はありません。 主に環境MatLabのに注意を払う必要があります。
アプリケーション
飛行機の明らかな使用を参照することは困難であるため、一見不定積分の決定は、現実から完全に切り離さようです。 確かに、直接あなたがすることはできませんどこでもそれらを使用するが、彼らは実際に使用されるソリューションの撤退の過程で必要な中間要素です。 このように、バック分化の統合は、このように積極的に方程式を解く過程に参加します。
要するに、現在および将来の整形を構成するすべて - 今度は、これらの方程式は、機械的な問題、軌道計算と熱伝導率の決定に直接影響を与えます。 我々はより多くの新しい発見を行うための拠点として、一見些細なだけで、上記と考えているの不定積分、例。
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