ラッセルのパラドックス：基本的な情報、例、製剤

ラッセルのパラドックスは、二つの相互依存の論理的な二律背反です。

ラッセルのパラドックスの二つの形式

ロジックセットに矛盾の中で最も頻繁に議論フォーム。 セットの中には、メンバー自身、そして他の人のようです - がありません。 すべてのセットのセットは、セットそのものであるので、それ自体を指しているようです。 NULLまたは空の、しかし、自身のメンバーであってはなりません。 したがって、ゼロのようなすべてのセットのセットは、それ自体に含まれていません。 パラドックスは、自身のメンバーの集合かどうかの時に疑問を生じます。 これがあれば可能であり、それがない場合のみ。

別の形態のパラドックスは、プロパティに関する矛盾です。 他の人ではない間、いくつかのプロパティは、自分自身を参照しているようです。 プロパティは猫のそれことながら、財産そのものするプロパティは、プロパティではありません。 彼に属していない特性を有するという特性を考慮してください。 それは自分自身に適用されますか？ ここでも、仮定のいずれかが反対でなければなりません。 パラドックスは、1901年にそれを発見したバートランド・ラッセル（1872年から1970年）、にちなんで命名されました。

物語

オープニングラッセルは「数学の原則」に彼の仕事中に発生しました。 彼は独立してパラドックスを発見したが、他の数学者とエルンスト・ツェルメロとを含む集合論の開発者という証拠があるデイビット・ヒルバート、彼の前矛盾の最初のバージョンを知っていたが。 ラッセルは、しかし、最初の解決策を策定しようとしましたが、完全にその意義を理解するために最初に、彼の出版された作品で詳細にパラドックスを議論最初の人でした。 「原則」の章全体がこの問題の議論に専念し、アプリケーションはラッセルが解決策として提案されている種類の理論に専念しました。

ラッセルは、任意のセットのパワーはそのサブセットのセットよりも小さいことを言うカントールの集合論を考慮すると、嘘つきの」パラドックス」を発見しました。 その中に要素があるように、各要素の一つのサブセットのみがこの要素を含む設定されている場合、少なくともドメイン、などの多くのサブセットであるべきです。 さらに、カントールは、要素の数がサブセットの数に等しくすることができないことを証明しました。 同じ番号があった場合、それは彼らのサブセット上の要素を表示していましたƒ機能が存在しなければなりません。 同時に、不可能であることを証明することができます。 他はないかもしれませんが、一部の項目は、それらを含む機能ƒサブセット上に表示することができます。

彼らはƒを表示する彼らのイメージに属さない要素のサブセットを考えてみましょう。 これは、要素のサブセット自体であり、従って、ƒ関数は、ドメイン内の要素上に表示します。 問題は、その後、問題は、この要素は、それがƒ表示された部分集合に属しているか否かの生じることがあります。 それが属していない場合にのみ可能です。 ラッセルのパラドックスは、推論の同じラインの一例と見ることができる、唯一の簡素化。 セットのセットまたはサブセット - 詳細は何ですか？ セット自身のすべてのサブセットとして、それ以上のセットがなければならないことと思われます。 カントールの定理が真である場合しかし、その後、複数のサブセットがあるはずです。 ラッセルは、単に自分自身で設定を表示し、それらが表示されるセットの外、これらすべての要素の集合を考慮kantorianskyアプローチを適用みなします。 表示ラッセルはすべてのセット、非のセットになります。

エラーフレーゲ

「嘘つきのパラドックスは、」集合論の歴史的発展に多大な影響を与えました。 彼は普遍集合の概念は非常に問題があることを示しました。 彼はまた、それぞれの定義された条件や述語のためにこの条件を満たすものだけを複数の存在を想定することができるという考えに疑問を呈しました。 バージョンセットへの自然な拡張 - - 特性に関するオプションパラドックスは、財産の客観的存在や状態、または述語によって決定された各への普遍的適合性について議論することが可能であるかどうかの深刻な疑問を提起しました。

同様の仮定を行ったすぐに論理学者の仕事での矛盾や問題が発見された、哲学者や数学者。 初期の20世紀 - 1902年に、ラッセルはパラドックスのバリアントはゴットロープ・フレーゲの「算術の基礎」のボリュームIで開発された論理システム、後半XIXのロジック上の主な作品の一つで表現することができることを見出しました。 フレーゲの哲学に多くの「拡張」または「値の範囲」概念として理解されます。 コンセプトは、相関のものに最も近いです。 彼らは、任意の所与の条件や述語のために存在すると予想されます。 したがって、その定義概念に該当しない集合の概念があります。 そここの概念によって定義されたクラスもあり、それがない場合にのみ、その概念を定義に従うものとします。

ラッセルは対応が最もエキサイティングなの一つとなっている1902年6月に、この紛争についてフレーゲに書いたとロジックの歴史の中で話題。 フレーゲはすぐパラドックスの悲惨な結果を認識しました。 彼は哲学の性質に関する論争のバージョンはレベルの概念を区別することで解決されたこと、しかし、指摘しました。

フレーゲの概念はTRUEに関数の引数からの移行として理解しました。 第二レベルの概念の目的はようにこれらの関数の引数として取り、引数として取る概念最初のレベル。 このように、コンセプトは、引数としての地位を取ることはできません、と特性に関してパラドックスを処方することはできません。 それでもセットは、拡張や概念フレーゲは、他のすべてのオブジェクトと同じ論理タイプを指すと理解されます。 そして、すべてのセットのために、それはそれを定義するという概念に該当するかどうか質問があります。

フレーゲ、ラッセルは、最初の文字を受信した場合、「算術の基礎」の第二の体積は、既に印刷を終了します。 彼はすぐにラッセルのパラドックスに答えを与えるアプリケーションを準備することを余儀なくされました。 例フレーゲは、可能な解の数を含んでいました。 しかし、彼は論理システムに抽象化セットの概念を弱めるという結論に達しました。

オリジナルでは、概念の範囲内にある場合にのみ、それを定義する場合、オブジェクトは、セットに属すると結論することが可能でした。 改訂されたシステムは、唯一のオブジェクトがあればセットに属していること、それは、複数の定義の概念内にある場合にのみ、しかし、質問に設定されていないと結論することができます。 ラッセルのパラドックスが発生します。

解決策は、しかし、フレーゲに完全に満足していません。 そして、これは理由でした。 数年後、矛盾のより複雑な形は、改訂されたシステムのために発見されました。 これが起こった前であってもしかし、フレーゲは彼の決定を放棄し、彼のアプローチは、単に実行不可能だったという結論に来ているように見える、そしてそのロジックは、セットのいずれかなしに行う必要があります。

まだ他には、比較的多くの成功した代替ソリューションを提案されてきました。 これらは、以下で説明されています。

種類の理論

これは、フレーゲはパラドックスに十分応答したことを上述した集合論の性質のために製剤化バージョンです。 フレーゲの応答はパラドックスのこのフォームに最も頻繁に議論し解決策が先行しました。 それは性質が異なる種類の対象であり、財産の種類、それが参照する項目と同じになることはありませんという事実に基づいています。

このように、いなくても問題が発生し、プロパティ自体に適用されるかどうか。 種類の理論を用いて、そのような階層の要素を分離し、論理、言語、。 それはすでにフレーゲ、初めてで使用されているが、それは十分に説明し、「原則」の附属書でラッセルを実証しています。 種類の理論は、フレーゲのレベルの違いよりも完了しました。 彼女は性質が異なるロジックの種類だけでなく、設定されていないだけである共有しました。 ラッセルのパラドックスは以下に矛盾を解決するための理論を入力します。

哲学的に適切であるためには、プロパティの種類の理論の採用は、彼らが自分自身に適用することができない理由を説明することができるように、プロパティの性質の理論の開発が必要です。 一見すると、それは自分の財産を述語は理にかなっています。 自己のアイデンティティであるという特性は、また、自己のアイデンティティである、と思われます。 プロパティは、素敵な楽しいようです。 同様に、どうやら、猫であるという特性が猫であることを言って偽のようです。

それにも関わらず、様々な思想家は、異なるタイプの分割を正当化。 ラッセルも、彼のキャリアの中で、異なる時間に異なる説明を行いました。 その一部については、フレーゲレベルの異なる概念を分離するための理論的根拠は、不飽和概念の彼の理論から来ています。 機能としての概念は、本質的に、不完全です。 価値を提供するために、彼らは、引数を必要としています。 それはまだその引数を必要とするので、あなただけの1つの概念は、同じタイプの概念を述語することはできません。 それは数の平方根の平方根を取ることが可能であるが、たとえば、あなただけの平方根関数に平方根関数を使用して結果を得ることができません。

保守主義のプロパティについて

別の可能な解決策は、所与の条件下パラドックス特性否定特性の存在、または整形述語です。 誰かが全体として客観的かつ独立した要素の両方の形而上学的な性質を避けた場合、我々は唯名論のパラドックスを取る場合はもちろん、完全に回避することができます。

しかし、二律背反を解決することはそれほど極端である必要はありません。 論理高次のシステムにかかわらず、例えば、財産又はコンセプトの一部として式に一致する項目のみが存在するどの複合体の各開放式これによれば、概念的な原理と呼ばれるものを含む、フレーゲとラッセルを開発しました。 彼らは関係なく、彼らがあったか複雑な条件や述語、のすべての可能なセットの属性に適用されません。

それにもかかわらず、そのようなので、上の赤い色、硬さ、優しさととして、例えば、を含む、単純なプロパティの客観的存在に権利を与えて、より厳密な形而上学のプロパティを取ることが可能であった。D.あなたも、これらのプロパティは、このような優しさと、自分自身に適用させることができますすることができます親切にします。

そして、複合属性の同じ状況は、例えば、拒否することができ、17-ヘッドを有するアンダー水書き込まれるなど、そのような「プロパティ」。この場合D.、無所定の条件は、プロパティを満たしていない、別々と理解独自のプロパティを持っている要素を、既存の。 したがって、一非適用さ-プロパティこと-に自己単純な性質の存在を否定し、より保守的な形而上的特性を適用することによって、パラドックスを回避することができます。

ラッセルのパラドックス：ソリューション

それは彼の人生の終わりにフレーゲが完全にセットのロジックを放棄したことに注目された上で。 セットの形で二律背反にこれは、もちろん、一つの解決策：全体として、そのような要素の存在を簡単に否定。 また、他の人気のある選択肢がある、の基礎は以下の通りです。

多くの種類のための理論

前述したように、ラッセルは、異なるタイプの性質や概念だけでなく、共有するタイプのより完全な理論のために演奏するだけでなく、設定します。 ..セット - ラッセルは、オブジェクトの集合を考慮していなかった等の別個のユニット、複数の別々のオブジェクトの複数のセット、に設定し、複数組を共有しました。 多くは、あなたが自分自身のメンバーとして持っていることができ、種類を楽しんだことはありません。 したがって、それはメンバーとしてであるかどうかについての質問のいずれかのセットのために、それ自体が違反タイプなので、それ自身のメンバーではないすべてのセットのないセットがありません。 ここでも、ここでの問題は、型への分割の哲学的基礎を説明する形而上学セットを説明することです。

成層

1937年、V. V. Kuaynは、種類の理論と同様に、代替ソリューションを提供してきました。 それについての基本的な情報があります。

要素セットなどを分離する。複数を見つけることの仮定が常に正しくないか、意味がないように作られました。 彼らの条件を定義するときにのみ提供することができますセットは、違反のタイプではありません。 したがって、クワインのために、表現「Xは、Xのメンバーでない」意味のある文は、この条件を満たす全ての要素xのセットが存在することを意味するものではないです。

それは層状である場合にのみ、Tの場合は、このシステムに設定された、いくつかのオープン式Aのために存在する。E.変数が変数が変数よりも小さい割当手段が割り当てられ、それに先行する複数の各特性出現についてように正の整数を割り当てられている場合、彼の後に次のよう。 このブロックラッセルのパラドックスは、問題のセットを決定するために使用される式以来、同じことは、それがunstratifiedなっ変数メンバーシップの看板の前と後にあります。

しかし、それはクワインは、一貫性のある「数学的なロジックの新しい基盤」と呼ばれたシステム、かどうかを判断するためには至っていません。

拒否

フレンケル（ZF） - 全く異なるアプローチがツェルメロの理論に取り込まれます。 ここでは、あまりにも、セットの存在に制限を設定します。 代わりに、最初にすべての概念、プロパティ、または条件は、このプロパティを使用して、すべてのもののセットの存在を示唆することができるか、ZF-理論的には、このような条件を満たすようにするために、すべてが始まることを考えラッセルとフレーゲの「トップダウン」アプローチ「ボトムアップからの。」

空集合の個々の要素と組を形成します。 そのため、以前のシステムとラッセル・フレーゲFITとは異なり、すべての要素、さらにはすべてのセットが含まれて普遍集合に属していません。 ZFは、セットの存在に厳しい制限を設定します。 それらは、そのため、それが明確に仮定されるか、反復的プロセスなどの手段によって製剤化することができるこれだけ存在してもよい。D.を

その後、代わりにあれば特定の要素は、セットに含まれていると、それはDF、分離または「ソート」使用される分離原理的に条件を満たしている場合にのみ、状態概念抽象ナイーブセット。 代わりに、既存の各セットに対して、特定の条件を満たし例外なくあるすべての要素の集合の存在を仮定するAussonderungは、条件を満たしオリジナルセット内のすべての要素のサブセットの存在を示します。

そして、抽象化の原則が来る：集合Aが存在する場合、我々は単に仮定することはできませんので、このアプローチは、パラドックスラッセルを解決し、唯一のxを満たす条件C.もしあれば、その後、Aのすべてのxについて、xは条件を満たしサブセットAに属し、それは、自分自身のメンバーではないすべてのセットのセットです。

セットの多くを持って、あなたが選択するか、自分自身であるセット、及びそのようでない人たちにそれを分割しますが、普遍的なセットが存在しないため、我々はすべてのセットのセットをバインドされていないことができます。 問題を想定しずにラッセルの矛盾を証明することはできません設定します。

他のソリューション

加えて、そのような「数学の原理」のフォーク型理論としてこれらの溶液のその後の拡張や変更、システムの拡張「の数学的論理」クワイン、ならびにセットの理論的に、より最近の開発がなされてきた、Bernays、ゲーデルとノイマンを行います。 不溶性のパラドックスバートランド・ラッセルへの応答が見つかったかどうかの問題は、まだ議論の問題です。