対角線等辺台形。 台形の中央の線は何ですか。 台形のタイプ。 ブランコ - それ..

ブランコ - 辺の一組が平行である四角形の特殊なケース。 用語「台形」は、「表」、「テーブル」を意味するギリシャ語のτράπεζαから派生しています。 この記事では、空中ブランコの種類とそのプロパティを見ていきます。 また、我々は個々の要素を計算する方法を見て 幾何学図形を。 例えば、等辺台形、中央線、エリア、他の対角線。材料は、容易にアクセスできるように基本幾何人気のスタイル、T。E.中に含まれます。

概要

まずは、どのような四角形を理解しましょう。 この図は、4つの辺と4つの頂点を有する多角形の特別な場合です。 隣接していない四辺形の2つの頂点、反対と呼ばれます。 同じことが、2つの隣接していない辺のことが言えます。 四角形の主なタイプ - 平行四辺形、長方形、菱形、正方形、台形と三角。

だから、戻っブランコに。 我々が言ったように、この図は、2つの側面が平行です。 彼らはと呼ばれる塩基です。 他の二つの（非平行） - 両側。 様々な検査や試験の材料は、非常に多くの場合、あなたは、その解決策、多くの場合、プログラムでカバーされていない学生の知識を必要と台形に関連する課題を満たすことができます。 学校のコースの形状は、角度の特性と対角線だけでなく、等脚台形の正中線に生徒を紹介します。 しかし、それ以外には、幾何学的形状は、他の機能を持っていると呼びます。 しかし、それらについて後で...

タイプのブランコ

この図には多くの種類があります。 二等辺三角形や長方形 - しかし、ほとんどの場合、通例、それらのうちの2つを検討します。

1.長方形、台形 - ベースに対して垂直な辺の内の1つの図。 彼女は二つの角度が常に90度に等しいです。

2.二等辺の台形 - その辺等しい幾何学図形。 だから、ベースの角度も同じです。

台形の性質を研究するための方法の主な原則

基本的な原則は、いわゆるタスクのアプローチの使用を含みます。 実際には、この図の新規物件の理論的なコースの形状に入力する必要はありません。 彼らは開いているか、さまざまなタスク（よりよいシステム）を策定する過程にあることができます。 先生があなたが学習プロセスの任意の時点での学生の前に置くために必要なものなタスクを知っていることは非常に重要です。 また、各台形プロパティは、タスクシステムにおける重要な課題として表すことができます。

第2の原理は、研究、「著しい」ブランコプロパティのいわゆるスパイラル組織です。 これは、幾何学的図形の個々の特徴を学習するプロセスに戻ることを意味します。 このように、簡単に学生はそれらを覚えています。 例えば、4点の性質。 これは、類似の研究では、その後のベクターを用いて証明することができます。 図形の辺に隣接等しい三角形、それだけでなく、式S = 1/2（AB *のsinα）を使用して、その直線上にある辺に行っ等しい高さの三角形の性質だけでなく、を使用して証明することが可能です。 さらに、出て作業することが可能である 正弦定理を トンで説明内接台形または直角三角形と台形に。D.

タスク自社の技術教育 - 「課外」の使用は、学校のコースの内容に幾何学的な数字を備えています。 他の通路の特性を研究するために一定の基準は、学生がブランコより深く学ぶことができ、タスクの成功を保証します。 そこで、我々はこの驚くべき数字の研究に進みます。

等脚台形の要素とプロパティ

私たちが指摘しているように、この幾何学的な図では側面が等しくなっています。 しかし、それは右の台形として知られています。 そして、何それはとても顕著であり、なぜその名前を得ましたか。 この図の特別な特徴は、彼女だけでなく、等しい辺を有し、基部に角度だけでなく、斜めことに関する。 また、等脚台形の角の和は360度に等しいです。 それだけではありません！ 二等辺三角形の周りだけが、すべての既知の台形の円で記述することができます。 これは、この図の対角の和が180度であり、これだけ条件四角形の周りの円として説明することができるという事実によるものです。 幾何学的図形の次のプロパティは、この塩基を含むライン上の対向するピークの投影に基部の上面からの距離が正中線に等しくなるということです。

今度は、等脚台形の角を見つける方法を見てみましょう。 この問題の解決策を考えてみましょう、当事者の大きさが知られているという姿を提供します。

決定

ファンデーション - 四角形文字A、B、C、D、BS及びBPを示すことが通例です。 等脚台形に辺が等しいです。 我々は、その大きさがXに等しく、Yの寸法がベースであり、Z（それぞれ、小さい及び大きい）と仮定する。 斜辺、およびBNとAN - - 足結果は直角三角形ABN ABの高さHに過ごすために必要の角度の計算のため。 三角形の使用関数COSの鋭角を計算するために、（ZY）/ 2次に= F.：脚ANのサイズを計算する：最小の大きいベースから減算し、その結果を2ライト式で分割されています。 COS（β）= X / F.：私たちは、次のエントリを取得します β=アルコス（X / F）：今すぐ角度を計算します。 さらに、一つのコーナーを知って、我々は決定することができそして第二に、この基本演算作るために：180 - βを。 すべての角度が定義されています。

この問題の第二の溶液もあります。 初めにN.は、BNの値を算出し、脚の高さの隅から省略されています。 私たちは、直角三角形の斜辺の平方は他の2辺の平方の和に等しいことを知っています。 我々が得る：BN =√（X2のF2）。 次に、我々は、三角関数のTGを使用しています。 結果は：β= arctg（BN / F）。 鋭角が発見されました。 次に、第一の方法のように鈍角を規定します。

等脚台形の対角線の性質

まず、私たちは4つのルールを記述します。 等脚台形に対角線はその後、直交している場合：

- 図の高さを2で割った塩基の和に等しいです。

- その高さと中心線は等しいです。

- 台形の面積が高さ（半塩基中心線）の二乗に等しいです。

- 正方形の対角線の四角は、二回正方形塩基または正中線（高さ）の半分の和に等しいです。

今対角線等辺台形の定義式を見てください。 情報のこの作品は、4つの部分に分けることができます。

その側を通る1式対角線の長さ。

下部ベース、B - - トップ、C - 等しい辺、D - 対角線我々は、Aであると仮定する。 この場合、以下のように、長さを決定することができます。

D =√（C 2 + *のB）。

余弦の対角線の長さ2.式。

下部ベース、B - - トップ、C - 等しい辺、D - （下部ベースで）対角、αおよびβ（上底） - 台形の角我々は、Aであると仮定する。 我々は、1つの対角線の長さを計算することができることにより、次式を得ます：

- D =√（A2 + S2-2A * C *のcosα）。

- D =√（A2 + S2-2A * C *のcosβ）。

- D =√（B2 + S2-2V * C *のcosβ）。

- D =√（B2 + S2-2V * C *のcosα）。

等脚台形の3式対角線の長さ。

下部ベース、B - - 上部、D - 対角線、M - 中央線H - 高さ、P - 台形の面積、α及びβ - 対角線の間の角度我々は、Aであると仮定する。 以下の式の長さを決定します。

- D =√（M2 + N2）。

- D =√（H 2 +（A + B）2/4）。

- D =√（N（A + B）/sinα）=√（2N /sinα）=√（2M * N /sinα）。

このような場合のために、平等：sinα=sinβ。

4.式斜辺を介して長さと高さ。

下部ベース、B - - トップ、C - 側面、D - 対角線、H - 高さ、α - 下底との角度我々は、Aであると仮定する。

以下の式の長さを決定します。

- D =√（H 2 +（A-Pの*のctgα）2）。

- D =√（H 2 +（B + F *のctgα）2）。

- D =√（A2 + S2-2A *√（C2-H2））。

長方形の台形の構成要素および特性

この幾何学図形に興味があるかを見てみましょう。 我々が言ったように、我々は、長方形、台形右側の2つの角度を有します。

古典の定義に加えて、他の人があります。 例えば、長方形の台形 - 一辺がベースに対して垂直である台形。 または側角度で有する形状。 台形の高さのこのタイプのベースに垂直な面です。 中間線 - 二辺の中点を結ぶ線分。 前記素子の特性は、それがベースに平行かつそれらの合計の半分に等しいということです。

今度は、幾何学的形状を定義する基本的な数式を考えてみましょう。 これを行うために、我々はAとBと仮定 - ベース。 C（基部に対して垂直）およびD - 矩形台形の辺、M - 中央線、α - 鋭角、P - 領域。

1塩基に対して垂直な側面、高さ（C = N）に等しい数値を、及び第2サイドAと大きいベース（C *のsinα=）をで角度αの正弦の長さに等しいです。 C =（A-B）*tgα：また、鋭角αの正接との積および塩基の差に等しいです。

A =（A-B）/ COSα= C /sinα：2 AとBと余弦（α）またはプライベート高さに対して鋭角の差の商に等しいサイドD（基部に対して垂直ではない）は、H及び正弦鋭角フィギュア。

第二の側面 - - 3塩基に対して垂直な側面は、差分Dの二乗の平方根に等しく、正方形のベースの違い：

C =√（Q2（A-B）2）。

D =√（C 2 +（A-B）2）4.サイド長方形、台形、正方形、正方形側の和とC塩基の幾何学的形状の差の平方根に等しいです。

C = P / M = 2P /（A + B）：5側Cは、その塩基の正方形二重和の商に等しいです。

P = M * N = M * C.：6.高さ又は横方向に製品M（矩形、台形の中心線）によって規定される領域垂直塩基

C = P / M *sinα= 2P /（（A + B）*sinα）：7.位置Cは、製品によって2回正方形の商正弦鋭角と塩基の合計です。

8.式その対角線を通る矩形台形の側面、及びそれらの間の角度：

- sinα=sinβ。

- C =（D1 * D2 /（A + B））*sinα=（D1 * D2 /（A + B））*sinβ、

ここで、D1とD2 - 台形の対角線。 αとβ - それらの間の角度。

A =（A-B）/cosα= C /sinα= H /sinα：下部ベースと他の角度を介して9式側。

直角を有する台形が台形の特定の場合であるので、これらの数値を決定する他の式を満たす矩形であろう。

プロパティの内接円

条件は、長方形、台形に内接円と言われている場合は、次のプロパティを使用することができます。

- 塩基の量は、辺の合計です。

- 内接円の接線の点に矩形状の上面からの距離が常に等しいです。

-台形の高さは、ベースに垂直な側面に等しく、等しい 円の直径を 、

-円の中心が交差する点である 角の二等分線は 、

-接触点の横側を長さNとMに分割されている場合には、 円の半径は、 これらのセグメントの積の平方根に等しいです。

- 接触点によって形成される四角形、台形の頂部と内接円の中心 - それは側半径に等しい正方形です。

- 図形の面積は、理由の製品とその高さの塩基の半和の積です。

同様のブランコ

このトピックでは、プロパティの勉強のために非常に有用である 幾何学図形を。 例えば、4つの三角形と台形に、対角分割などの塩基、および側面に隣接している - に等しいです。 この文は、壊れたブランコその対角線で三角形の性質、呼び出すことができます。 この文の最初の部分は、二つの角の類似の符号を介して証明されています。 第二部を証明するには、以下の通りの方法を使用することをお勧めします。

証明

その数字を受け入れABSD（ADとBC - 台形の根拠）が壊れ対角線HPとACです。 - 下底で、BOS - 側に上底、ABOおよびSOD AOC： - 交点O.我々は、4つの三角形を得ます。 BOとODのセグメントはそれらのベースであれば、三角形SODとバイオフィードバックは、その場合には、共通の高さを有しています。 PBO類/ PSOD = BO / ML = K.したがって、PSOD = PBO類/ K.：我々は、それらの領域の差は、これらのセグメントの差に等しい（P）ことがわかり 同様に、三角形AOBとバイオフィードバックは、一般的な高さを有しています。 そのベースセグメントSBとOAのために受け入れました。 我々が得たのpBOS / PAOB = CO / OA = KとPAOB = PBO類/ K. このことから、PSOD = PAOBことになります。

統合するには材料の学生は、次のタスクを決定壊れブランコその対角線、得られた三角形の面積との間の接続を、見つけることが奨励されています。 台形の面積を求める必要がある、三角形BOS及びADP領域が等しいことが知られています。 PSOD = PAOBて以来、その後、PABSD PBO類+ = PAOD + 2 * PSOD。 三角形BOSとANMの類似性からBO / OD =√（PBO類/ PAOD）ことになります。 したがって、PBO類/ PSOD = BO / OD =√（PBO類/ PAOD）。 PSOD =√（* PBO類PAOD）を取得します。 次いでPABSDのpBOS + = PAOD + 2 *√（PAODのpBOS *）=（+√PBOS√PAOD）2。

性質の類似性

このテーマの開発を継続し、証明することが可能であり、台形の他の興味深い特徴。 したがって、幾何学的図形の対角線の交点によって形成される点を通る性セグメントを、証明することができる類似の助けを借りて、地面に平行です。 このため、我々は次のような問題を解決する：三角形ADPおよびSPUの類似性から、点Oを通る長RKセグメントを見つけることが必要であるAO / OS = AD / BSことになります。 三角形ADP及びASBの類似性から、AB / AC = PO / AD = BS /（BP + BS）ことになります。 これは、BSは、* PO = AD /（AD + BC）ことを意味します。 同様に、三角形MLCとABRの類似性からOK * BP = BS /（BP +のBS）ことになります。 これは、OCとRC = RC = 2 * BS * AD /（AD + BC）ことを意味します。 ベースへの対角線と平行の交点を通り、両側を結ぶ線分は、交点が半分に分割されます。 その長さは - 理由の数値の調和平均です。

4点のプロパティと呼ばれる台形の以下の特性を考えます。 対角線（D）の交点は、辺（E）、ならびにミッド塩基（T及びG）の継続の交点が常に同じライン上にあります。 類似の方法を証明するのは簡単です。 得られた三角形は同様のBESとAEDであり、中央値ETとDLYを含むそれぞれの等しい部分に頂角Eを分割します。 したがって、点E、TとFが同一直線上にあります。 同様に、同じ行にT、O、およびGの面に配置されているこれは、三角形BOSとANMの類似性から得られます。 E、T、OおよびF - - したがって、我々はすべての4つの条件と結論付けて直線上に位置します。

同様の台形を使用して、のような二つに図形を分割セグメント（LF）の長さを見つけるために学生に提供することができます。 このカットは、塩基と平行でなければなりません。 受信された台形ALFD LBSFと同様に、BS / LF = LF / ADからです。 これは、LF =√（BS * BP）を意味しています。 我々は2つの台形状に分割セグメントは、塩基の長さは、図の幾何平均に等しい長さを有していると結論付けています。

以下、類似の特性を考慮してください。 これは、二つの等しい大きさの断片に台形を分割セグメントに基づいています。 ブランコABSDセグメントは2つの類似EHに分割されていることを受け入れます。 B1とB2 - Bの上部からそのセグメントの高さは、2つの部分ENに分割されて低下しました。 得PABSD / 2 =（BS + EH）* V1 / 2 =（AP + EH）* B2 / 2 = PABSD（BP + BS）*（B1 + B2）/ 2。 前記第一の式（BS + EH）* B1 =（BP + EH）* B2及び第二（BS + EH）* B1 =（BP + BS）*（B1 + B2）/ 2さらに、システムを構成します。 これは、以下のものB2 / B1 =（BS + EH）/（BP + EH）及びBS + EH =（（BS + BP）/ 2）*（1 + B2 / B1）。 我々は見つけるその二次拠点の平均長さに等しい等しい2つに台形を分割する長さ：√（（CN2 + AQ2）/ 2）。

類似の結論

したがって、我々はそれを証明しています：

1側面において台形の中央を結ぶ線分は、BPとBSに平行とBSは算術平均とBP（台形の基部の長さ）です。

2.対角線の交点並列AD及びBCの点Oを通るバーは調和平均数BPとBS（2 * BS * AD /（AD + BC））に等しくなります。

3.同様の台形に破断セグメントの長さの幾何平均塩基BSとBPを有しています。

4.二つの等しい大きさに形状を分割要素は、長さが正方形番号BPとBSを意味します。

学生のセグメント間の結合の材料と意識を統合するには、特定の台形のためにそれらを構築することが必要です。 図の対角線の交点 - - 地面に平行彼は容易平均線及び点を通る線分を表示することができます。 しかし、ここで第三及び第四のでしょうか？ この応答は、平均値の間の未知の関係の発見に学生をリードします。

台形の対角線の中点を結ぶセグメント

図の次のプロパティを考えてみましょう。 我々は、セグメントMNがベースに平行であることを受け入れて斜めに半分に分けます。 交点は、WおよびS、このセグメントは半差の理由に等しくなると呼ばれます。 私たちはこれをより詳細に調べてみましょう。 MSH - 三角形ABSの平均線は、それがBS / 2に等しいです。 ミニギャップ - 三角形のDBAの中央線は、AD / 2に等しいです。 その後、我々はSHSCH = AD / 2-BS / 2 =（AD + BC）/ 2従ってSHSCH =ミニギャップ-MSHことを見つけます。

重心

のは、与えられた幾何学図形のための要素を定義する方法を見てみましょう。 これを行うには、反対方向に拠点を拡張する必要があります。 それは何を意味するのでしょうか？ 当事者のいずれかに、例えば、右に - 上部底に塩基を添加することが必要です。 下部左上の長さを延長します。 次に、その対角線を接続してください。 図の中心線とこの線分の交点は、台形の重心です。

内接し、説明ブランコ

レッツリストは、このような数字が特徴。

1.ラインは、それが二等辺三角形である場合にのみ、円に内接することができます。

円の周り2は、その塩基の長さの合計は、辺の長さの和であることを条件とする、台形として説明することができます。

内接円の帰結：

1台形の高さが常に説明半径の2倍に等しいです。

2.記載台形の側面が直角に円の中心から見ています。

最初の結果は明白であり、第二は、SODの角度が直接的であることを確立するために必要であることを証明するために、つまり、実際には、また、容易ではありません。 しかし、このプロパティの知識は、あなたが問題を解決するために直角三角形を使用することができます。

今、私たちは、円に内接する等脚台形、のための結果を指定します。 我々は、高さが幾何平均図形塩基であることを得る：H = 2R =√（BS * BP）。 台形のための問題を解決するための基本的な方法（2つの高さの原則を）果たす、生徒は次のタスクを解決しなければなりません。 受け入れることをBT - 二等辺三角形の数字のABSDの高さ。 あなたはATとAPのストレッチを見つける必要があります。 上記の式を適用すると、それがどうなることは難しいことではありません。

今、私たちは台形を説明したエリアからの円の半径を決定する方法を説明しましょう。 ベースBP上にトップBの高さから省略。 円は台形に内接するので、BS + 2AB = BPまたはAB =（BS + BP）/ 2。 三角形からABNはsinα= BN / 2 * AB = BN /（AD + BC）を見つけます。 PABSD =（BS + BP）BN * / 2、BN = 2R。 R * PABSD =（BP + BS）を得、それはRが= PABSD /（AD + BC）ことになります。

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すべての数式の正中ブランコ

今では、この幾何学的な数字の最後の項目に移動する時間です。 私たちは、台形（M）の真ん中のラインが何であるかを、理解します：

塩基スルー1：M =（A + B）/ 2。

高さは、ベースとコーナー後2：

•M-H *は（ctgα+ctgβ）/ 2 =。

•M + H = D *（ctgα+ctgβ）/ 2。

高さ対角角その間を通して3。 例えば、D1及びD2 - 台形の対角線。 α、β - それらの間の角度：

M = D1 * D2 *sinα/ 2 H = D1 * D2 *sinβ/ 2H。

M = R / N.：面積と高さの範囲内で4