フーリエ級数：科学の発展のための数学的なメカニズムの歴史と影響力

フーリエ級数 - このビューは、任意の行の期間に機能を選択しました。 一般的に、この解決策は、直交基底の拡張要素と呼ばれます。 フーリエ級数における機能の拡張は、統合、分化、だけでなく、引数式とコンボリューションのシフトでの変換の性質に起因する様々な問題を解決するための非常に強力なツールです。

高い数学に精通しているだけでなく、フランスの科学者フーリエの作品ではない人は、最も可能性の高いものを「ランク」と彼らがやるを理解することはありません。 しかし、この変換は非常にしっかりと私たちの生活に入っています。 それが唯一の数学でなく、物理学者、化学者、医師、天文学者、地震学者、海洋学者や他の人ではないが使用されています。 私たちはまた、先に自分の時間の、発見をした偉大なフランスの科学者の作品で詳しく見てみましょう。

男とフーリエ変換します

フーリエ級数は、（分析などと共に）方法の一つである フーリエ変換の。 このプロセスは、人はどんな音を聞くたびに行われます。 私たちの耳には、自動的に変換し 、音の波を。 弾性媒体中素粒子の振動運動は、異なる高さのトーンのための一連の（スペクトル）の連続したボリューム値に展開されています。 次に、脳は私たちのために身近な音に、このデータを変換します。 このすべては、私たちの願いや意識そのものに加えているが、より高い数学を勉強するために数年を要するプロセスを理解するためです。

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フーリエ変換は、数字や他の方法、分析を行うことができる変換します。 太陽サイクル（および他の天体）活性への光の海の潮と波から - フーリエ級数は、任意の振動プロセスを分解するための数字プロセスです。 これらの数学的手法を用いて、その逆最小から最大まで移動し、正弦波成分の数の任意の振動プロセスを表す関数を分解することが可能です。 フーリエ変換は、特定の周波数に対応する正弦波の位相及び振幅を記述する関数です。 このプロセスは、熱、光または電気エネルギーの作用により生じる動的プロセスを記述する非常に複雑な方程式を解くために使用することができます。 フーリエ級数も正しく医学、化学、天文学での実験観察を解釈することが可能となる、複雑な波形に一定のコンポーネントを割り当てることができます。

過去の情報

この理論の創設の父は、フランスの数学ザン・バティスト ゾーゼフ・ファーです。 彼の名前は後にし、この変換が呼び出されました。 固体中の熱の伝播 - 最初に、科学者たちは、熱伝導性のメカニズムを研究し、説明する技術を使用します。 フーリエ変換は、熱波の初期の不規則な分布は、その温度の最小値と最大値、並びにその位相を有することになるそれぞれが、単純な正弦波に分解することができることを示唆しました。 したがって、このような各成分が最大とその逆に最小値から測定します。 曲線の上下のピーク、並びに各高調波の位相を記述する数学関数は、フーリエ変換式の温度分布の変換と呼ばれます。 数学的な記述が困難である減少し、全体的な分布関数の理論の著者は、非常に簡単に数処理するため の定期的な機能の 初期分布を与える量で、サインとコサインを。

変換の原理と同時代の景色

科学者の同時代 - 19世紀初頭の主要な数学者は - この理論を受け入れませんでした。 主異議はそれが連続している正弦波表現の和として表すことができ、直線又は曲線を説明する不連続関数が引き裂かれるフーリエ変換の承認でした。 一例として、「ステップ」ヘビサイドを考慮してください。その値はギャップと右の左にゼロです。 この関数は、閉鎖チェーンのための時間変数上の電流の依存性を説明しています。 現代の理論は、その時点で、不連続な表現は、このような指数関数、正弦波、線形または二次などの連続、共通機能の組み合わせによって記述されるような状況に遭遇したことがなかったです。

フーリエ変換の理論的にはフランスの数学者は何気に？

数学は無限三角フーリエ級数を合計すること、次いで、主張する権利であった場合、すべての後、同様のステップのセットを持っている場合でも、表現のステップの正確な表現を得ることが可能です。 19世紀初頭では、この文は不条理なように見えました。 しかし、すべての疑問にもかかわらず、多くの数学者は、熱伝導の研究を超えて、それを動かし、この現象の研究の範囲を拡大してきました。 しかし、ほとんどの科学者は、質問苦しみ続けた：「？正弦波シリーズの合計が不連続関数の正確な値に収束することができますし」

フーリエ級数の収束：例

収束の問題は、あなたが数字の無限級数の和を必要とするたびに上昇します。 この現象の理解のための古典的な例を考えてみましょう。 各ステップは半分前回のであれば、あなたは今まで、壁に到達することはできますか？ あなたは目標から2メートル、より近い約半分の道への第一歩、隣接していると仮定 - 四分の三のマーク、及び第五の後、あなたは道のほぼ97パーセントを克服します。 しかし、関係なく、あなたは、厳密な数学的な意味で到達どちらも、意図したターゲットやったどのように多くの手順を実行します。 数値計算を使用して、我々は最終的には任意の小さな所定の距離に近い得ることを証明することができます。 これには半分、四分の一、との合計値が。E.は団結する傾向があることが実証された証拠と等価です。

ロード・ケルビンの再臨、または楽器：収束の問題

フーリエ級数はEbbsのと流れの強さを予測するために使用しようとしたときに、繰り返し質問は、19世紀後半に生まれました。 その時、ロード・ケルビンデバイスが船員の海軍や商船モニタは自然現象で許さアナログコンピュータで発明されました。 フェーズと潮と対応する時間モーメントのテーブルの高さの振幅のこのメカニズム定義されたセットは、慎重に年間を通して港で測定します。 各パラメータは、正弦波成分発現潮の高さであり、定期的な成分の一つでした。 測定結果は、次の年の関数としての水の高さを予測曲線を合成し、コンピューティングデバイスロード・ケルビンに入力されます。 非常にすぐに、これらの曲線は、世界のすべての港のために策定されました。

そして、プロセスは、不連続関数を分割されますか？

その際、アカウントの多くの要素で、津波を予測するデバイスは、位相と振幅の大きな数を計算し、より正確な予測を提供できることを明らかに思えました。 それにもかかわらず、このパターンが合成される潮の発現は、鋭いジャンプを含ま場合には観察されないことが判明し、即ち、不連続です。 装置は時点のテーブルからデータを入力するた場合に、それはいくつかのフーリエ係数を計算します。 （判明した係数に応じて）正弦波成分に起因する本来の機能を回復します。 オリジナルと再構成された発現との間の不一致は、任意の点で測定することができます。 場合は、繰り返し計算との比較は、最大誤差の値が減少しないことがわかります。 しかし、それらは破裂のポイントに対応する領域に局在しており、他の点はゼロになる傾向があります。 1899年に、この結果は、エール大学の理論的ジョシュアウィラード・ギブズ確認されました。

フーリエ級数の収束、全体としての数学の開発

フーリエ解析は、一定の間隔でバーストの無限の数を含む式には適用されません。 元の関数が実際の物理的測定の結果で表される場合、一般的なフーリエ級数では、常に収束します。 機能の特定のクラスについては、このプロセスの収束の質問は、このような一般的な機能の理論として、数学の新しい枝につながっています。 このようなシュワルツ、J ..MikusińskiとJ.寺院などの名前に関連付けられています。 この理論の下では、そのような発現のための明確かつ正確な理論的根拠は、ディラックのデルタ関数として確立されている（それは点の微小近傍に集中し、単一領域の領域を記述する）と「ステップ」ヘビサイド。 点電荷、質点、磁気双極子、およびビームの集中荷重：この作品のフーリエ級数を通じ、彼らは直感的な概念を伴う方程式と問題を解決するために適用可能となりました。

フーリエ法

フーリエ級数は、干渉の原理に従って、簡単に複雑な形状の分解で始まります。 例えば熱の様々な障壁を介して、その通路への熱の流れで、変化の不規則な形状の絶縁材料または接地面を変える - 地震、天体の軌道の変化 - 惑星の影響。 典型的には、これらの式は、個々の波長について解く単純な古典的なシステムの基本を説明します。 フーリエ変換は、簡単な解決策は、より複雑なタスクのためのように要約することができることを示しています。 数学の言語では、フーリエ級数 - 余弦と正弦波 - 高調波の発現和の提出のための方法論。 したがって、この分析は、名前「高調波解析」で知られています。

フーリエ級数 - 「コンピュータ時代」への理想的な方法

コンピュータ技術フーリエ法の作成に先立ち、私たちの世界の波動性を扱う科学者の兵器庫で最高の武器です。 複雑な形式のフーリエ級数は、あなただけでなく力学のニュートンの法則を直接適用に適している簡単な問題でなく、根本的な方程式を解くことができます。 19世紀のニュートン科学の発見のほとんどは、のみによるフーリエ法に可能となりました。

フーリエ級数今日

フーリエ変換の発展に伴い変換コンピュータは、新たなレベルに上昇しています。 この技術はしっかりと科学技術のほぼすべての分野で定着しています。 たとえば、デジタルオーディオおよびビデオなど。 その実装は、19世紀初頭のフランスの数学者によって開発された理論にのみおかげで可能になりました。 このように、複雑な形でのフーリエ級数は、宇宙の研究に突破口を作ることができました。 また、半導体材料やプラズマ、マイクロ波音響学、海洋学、レーダー、地震学の物理学の研究に影響を与えています。

三角フーリエ級数

数学では、フーリエ級数は、簡単の和として、任意の複雑な機能を表現する方法です。 一般的なケースでは、式の数は無限であってもよいです。 計算にカウント数が大きいほど、より正確な最終結果が得られます。 簡単な三角関数の余弦または正弦関数の最も一般的な使用。 この場合、フーリエ級数は、三角関数と呼ばれ、そのような表現の決断 - 高調波分解。 この方法は、数学において重要な役割を果たしています。 まず、三角シリーズは、画像のための手段だけでなく、機能の研究を提供し、それは理論のメインユニットです。 また、それは、私たちは数理物理学における多くの問題を解決することができます。 最後に、この理論は発展に貢献してきた 数学的な分析の、 それは数理科学（積分の理論、周期関数の理論）の非常に重要な分岐の数を生じました。 次の開発に加えて、出発点セット：理論実変数の関数、 機能解析、 また高調波解析のための基礎を築きました。